0.99999999999... = 1 (доказательство)

[KaraNagai]

курить аксиоматику Пеано.

[Yury]

Ржу не могу.

Людвиг, если вас действительно интересует, как определются вещественные числа - то почитайта, пожалуйста определение:
Аксиоматика вещественных чисел - статья с ru.wikipedia.org

Вот еще одна, в которой полного определения не дается, но есть полезные пояснения, откуда берется бесконечная десятичная дробь
Вещественное число.

Если что-то не понятно в определениях, не стесняйтесь спросить!

[Ludwig]

Сообщение от KaraNagai

курить аксиоматику Пеано.

Покурил, это натуральный ряд и всё. Что дальше? Это к чему?

Ludwig добавил 30.01.2008 в 20:41
Yuri, спасибо, а можете своими словами, без шпаргалок объяснить что вы думаете обо всем этом? Например о том, что между произвольными двумя вещественными числами существует вещественное число. Значит оно существует и между 0.(9) и 1? Или как?

[AVK]

Бесконечность бывает потенциальной и актуальной. Намекаю еще раз: сфера Римана. "Сколь угодно малый эпсилон" — это не бесконечность. Это переменная. Вы программист?

Для арифметики вообще говоря надо определить, что такое *числа*. В данном случае — вещественные. Для арифметики даже только на целых числах единицы и сложения не хватит. Для группы по сложению нужен ноль, обратный элемент и сложение. Для группы по умножению нужно само умножение, единица и обратный элемент. Дальше нужно требовать дистрибутивного закона, тогда только у вас получится хотя бы кольцо. Но и того мало: нужно еще требовать коммутативности. Но и этого еще мало для арифметики. Для арифметики надо определить поле, а это еще больше, чем кольцо Это так, на всякий случай. Учебники курите.

Для того, чтобы ввести десятичное представление чисел, надо сперва определить сами числа. Вот этого-то вам и не понять никак.

[Ludwig]

AVK, единица и сложение - это скорее с точки зрения программирования. То есть имея единицу как константу и операцию сложения я могу определить функции умножения и деления, а оттуда в принципе - в принципе - и все множество вещественных чисел.

Формально же, с точки зрения математики согласен, что нужно еще определение обратного элемента итд, но в сущности мы говорим об одном и том же.

Так можно ли найти вещественное число между 0.(9) и 1? Объясните мне, глупому музыканту с тремя классами образования.

[Yury]

Сообщение от Ludwig

Yuri, спасибо, а можете своими словами, без шпаргалок объяснить что вы думаете обо всем этом? Например о том, что между произвольными двумя вещественными числами существует вещественное число. Значит оно существует и между 0.(9) и 1? Или как?

Если вы намекаете на аксиому непрерывности, то смысл там не в двух числах и что есть число между ними, а в двух множеств из веещственных чисел. Эта аксиома всегда выполнена для любых двух чисел, поэтому ее нет смысла рассматривать (вот смотрите, берем первое множество, состоящего из одного едиственного вещественного числа x и второе множество, тоже из одного числа y, и x <= y, тогда сущетвует вещественное число q, такое что x <= q и q <= y, в качестве q можно взять и x и y, потому как x <= x и x <= y и y <= y)

Смотрите лучше третью аксиому порядка: если 0.(9) <= 1 и 1 <= 0.(9), то 1 и 0.(9) одно и тоже число.
Впрочем, как только вы принимаете запись вещественных чисел в виде десятичных дробей, то 0.(9) равно 1 по определению - смотрите по второй ссылке.
Попробую еще так объяснить. Как определить операции над объектами? Вот что значить a+b? что за объект получается? Как один из способов, можно определить бесконечные десятичные дроби и в самом определении:

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все di равны 0), отличающиеся только знаком.

на всякий случай, поясню что имеется в виду.
0.999... это d999... т.е. d это ноль, тогда (d+1)000... это просто 1 и они эквивалентны - так же как пары 1.2999... и 1.3000..., 1.3999... и 1.4000... и т.д.
Если вы попробуете определить вещественные чисела без этого условия, то у вас не получится ввести операции сложения и умножения, такие, чтобы выполнялись все аксиомы.

Yury добавил 30.01.2008 в 22:01

Сообщение от Ludwig

Так можно ли найти вещественное число между 0.(9) и 1? Объясните мне, глупому музыканту с тремя классами образования.

А что значит между? если такое q, чтобы 0.(9) <= q и q <= 1, то 1 подойдет. если хотите, чтобы строго больше 0.(9) и строго меньше 1, то такого числа нет и это не противоречит ни одной аксиоме.
если, по вашему, противоречит, то скажите какой.

[Ludwig]

Yuri, понятно, спасибо, будем думать.

[AVK]

Сообщение от Ludwig

Так можно ли найти вещественное число между 0.(9) и 1? Объясните мне, глупому музыканту с тремя классами образования.

Нет, нельзя. Потому что оба выражения обозначают одно и то же вещественное (а также рациональное, целое и натуральное) число, единицу.

[MS]

Сообщение от Ludwig

Противоречия, которые при этом возникают, мы пытаемся разрешить выходя за пределы этой аксиоматики и вводя понятия, оперирующие с бесконечностями, как например предел.

Людвиг, вы уже ввели то, что вы называете "бесконечностью" в самой постановке вопроса. Попробуйте обяснить что такое 0.(9).

Выражаю благодарности АВК за повтор первых трёх недель первого семестра первого курса матана... Всё так и есть, подтверждаю.

Для тех, кто хочет понять числа - поупражняйтесь. Докажите, что иррациональных чисел больше чем рациональных (хотя и тех и других бесконечно много). Поста АВК по целым, рациональным и иррациональным числам на второй странице треда вполне достаточно для этой задачи.

[Ludwig]

MS, AVK, Yuri,

То что 0.(9) и 1 - одно и тоже - собственно об этом и был оригинальный пост. На самом деле это дефект позиционной формы записи, и мне кажется также дефект операции деления, но я не смог вас в этом убедить. Может я и не прав.

Но скажите, что есть равенство тогда?

[KaraNagai]

На самом деле это дефект позиционной формы записи,

да с какого хрена ж он дефект? ну можно одно число двумя разными способами записать - ну и что? никто не обещал, что будет нельзя. тем более если надо это дело ограничить - то эт, как AVK сказал выше, тоже нетрудно, введя дополнительное простое правило.

дефект у этой записи другой - ей не записать произвольное вещественное число в принципе. например, корень из двух.

Но скажите, что есть равенство тогда?

отношение эквивалентности такое... а чито?

[MS]

Сообщение от Ludwig

МС, АВК, Юри,

То что 0.(9) и 1 - одно и тоже - собственно об этом и был оригинальный пост. На самом деле это дефект позиционной формы записи, и мне кажется также дефект операции деления, но я не смог вас в этом убедить. Может я и не прав.

Но скажите, что есть равенство тогда?

Любое рациональное число можно записать в виде периодичной десятичной дроби. И любая периодичная десятичная дробь есть рациональное число.

Десятичная дробь это одна из форм записи числа путём предела последовательности (или суммы ряда), если хотите. То, что вы говорите, должно было прозвучать так: "запись числа посредством суммы ряда не эффективна" или что то в этом роде. Рядов то таких сколько угодно можно постоить, а потому отображение числа в виде суммы ряда не единственно.

Равенстово: каждое число (элемент пространства) равен самому себе... иногда говорят тождественен если таким элементом является что то более общее чем число.