0.99999999999... = 1 (доказательство)

[Ludwig]

Теперь решаем ту задачку, над которой вы тут страдаете. Берем число 0.9(9). Просто по определению это то же самое, что предел последовательности:
{0,9/10,9/10+9/100,9/10+9/100+9/100,...}
Чему равен этот предел? Это предел частных сумм *конечной* геометрической прогрессии, школьной математики вам хватит, чтобы сообразить, что он в точности равен единице.

Единице равен предел, но не сумма {0,9/10,9/10+9/100,9/10+9/100+9/100,...} А предел подразумевает бесконечное приближение, но не равенство. Так? Или я что-то не понял?

[KaraNagai]

Единице равен предел, но не сумма {0,9/10,9/10+9/100,9/10+9/100+9/100,...}

ну во-первых это не сумма, а последовательность.

а во-вторых запись 0.(9) именно этот предел и обозначает, а не последовательность и даже не одну из сумм в этой последовательности.

[Ludwig]

Сообщение от KaraNagai

ну во-первых это не сумма, а последовательность.

а во-вторых запись 0.(9) именно этот предел и обозначает, а не последовательность и даже не одну из сумм в этой последовательности.

Да, ивзиняюсь, последовательность, но сути не меняет. Я все таки не понимаю каким образом и с каких пор предел стал понятием эквивалентным равенству.

[vovus]

Сообщение от Ludwig

Да, ивзиняюсь, последовательность, но сути не меняет. Я все таки не понимаю каким образом и с каких пор предел стал понятием эквивалентным равенству.

.. в силу существования и единственности данного предела, а также возможности его точно вычислить и представить в форме числа - все остальное - лишь форма записи этого факта ..

[AVK]

Сообщение от vovus

.. в силу существования и единственности данного предела, а также возможности его точно вычислить и представить в форме числа - все остальное - лишь форма записи этого факта ..

1) если предел существует, то он единственен. Существование вытекает из критерия Коши, как обычно при пополнении.
2) абсолютно не волнует, можно ли его точно вычислить.
3) абсолютно не волнует, можно ли его "представить в виде числа" — больше того, само понятие "иррациональное число" по Картану определяется, как предел рациональной последовательности, и больше никак.

Что касается формы записи, то вот с этим я согласен и это и пытаюсь объяснить.

Ну ладно, вот еще один простой пример. Вот последовательность:
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ну и так далее.
Она же:
1/2, 1/2+1/4, 1/2+1/4+1/8, 1/2+1/4+1/8+1/16, ну и так далее.
Теперь запишем ее по аналогии с десятичной бесконечной дробью:
0,111111.....
С другой стороны, у этой последовательности предел равен единице (очевидно).

Итого: 0,11111111.....=1!
Слева — двоичная бесконечная дробь, справа — ваша любимая единица. А так — всё то же самое, что в десятичном случае...

[KaraNagai]

AVK, зря ты пример с двоичной дробью сюда приплёл. Совсем людей ведь запутаешь )

Я все таки не понимаю каким образом и с каких пор предел стал понятием эквивалентным равенству.

Подожди. У последовательности есть предел. Предел этот - это элемент множества действительных чисел (by definition, кстати). 1 - тоже элемент множества действительных чисел. Не предел эквивалентен равенству, а равенство установлено между этим самым пределом и 1.

[Ludwig]

Други мои, я понимаю о чем вы говорите. Проблема в том, что имеется аксиоматика, в которой нет понятия предела. Многие вещи в рамках этой аксиоматики кажутся простыми и самоочевидными до тех пор, пока вы не начинаете экспериментировать например с делением или корнями. Противоречия, которые при этом возникают, мы пытаемся разрешить выходя за пределы этой аксиоматики и вводя понятия, оперирующие с бесконечностями, как например предел.

Все что я хотел сказать - в такой простой вещи как арифметика имеются очень простые и смешные дефекты. Шаг влево, шаг вправо - расстрел, то есть вы сталкиваетесь с бесконечностями, и все что с ними связано кажется counter-intuitive.

Этот фокус с 0.(9) конечно больше предназначен для флеймов, но все таки он вскрывает проблему нечеткости некоторых определений в арифметике, и также ту проболему, что построить полностью непротивречивую систему с числами и простыми операциями над ними невозможно. Может быть это есть гёделевская неполнота.

Никто не может сказать, что понимает до конца что такое например 1/3. Эта дробь не имеет физического смысла (как я уже тут говорил), но мы говорим - окей, фиг с ним, с физическим смыслом, мы можем это записать, как-то свести концы с помощью пределов, и будем очень довольны собой.

(В конце концов ведь кому-то пришла в голову идея поиграться с отрицательными вероятностями, которые на первый взгляд не имели физического смысла, но каким-то фантастическим образом этот смысл нешелся и подтвердился экспериментом.)

Бесконечные дроби в этом плане висят в воздухе, и поэтому являются источником забавных противоречий, которые не разрешаются в пределах аксиоматики, в которой они возникли.

С этим вы можете согласиться?

[AlexL]

Сообщение от KaraNagai

AVK, зря ты пример с двоичной дробью сюда приплёл. Совсем людей ведь запутаешь )



Подожди. У последовательности есть предел. Предел этот - это элемент множества действительных чисел (by definition, кстати). 1 - тоже элемент множества действительных чисел. Не предел эквивалентен равенству, а равенство установлено между этим самым пределом и 1.

Здесь уже проскальзывало что 0.(9) есть число, 1 тоже число.
У последовательности может и есть предел, а какой предел у числа?! Что есть предел числа? Может тогда не стоит 0.(9) называть числом ? иначе сразу возникает вопрос число какое - рациональное или иррациональное ?

[KaraNagai]

Проблема в том, что имеется аксиоматика, в которой нет понятия предела

это ты о какой аксиоматике говоришь конкретно?
список всех блюдей аксиом, пжалста!

Эта дробь не имеет физического смысла

В каком-то смысле целые числа тоже физического смысла не имеют, ибо существование отдельных друг от друга сущностей - есть умопостроение, упрощающее восприятие действительности.

Здесь уже проскальзывало что 0.(9) есть число, 1 тоже число.

И? Да! Число. Одно и то же число. Вы путаете представление с представляемыми сущностями. Никто не гарантировал взаимно-однозначного соответствия между чилсами и их нотацией в десятичной системе.

У последовательности может и есть предел, а какой предел у числа?!

Не предел у числа. А само число - предел. Предел у последовательности чисел 0.9, 0.99, 0.999. И это предел - тоже число - 1 или 0.(9), в зависимости от того как вам хочется его записать.

Может тогда не стоит 0.(9) называть числом ? иначе сразу возникает вопрос число какое - рациональное или иррациональное ?

Рациональное ясен пень ибо представимо в виде дроби 3 * 1 / 3.

[AVK]

Сообщение от Ludwig

Други мои, я понимаю о чем вы говорите. Проблема в том, что имеется аксиоматика, в которой нет понятия предела.

В аксиоматике Картана понятие вещественного числа строится на понятии предела. В аксиоматике Дедекинда — на супремуме/инфимуме, что в данном случае эквивалентно. Не надо лохматить бабушку.

Многие вещи в рамках этой аксиоматики кажутся простыми и самоочевидными до тех пор, пока вы не начинаете экспериментировать например с делением или корнями.

Абсолютно все вещи в рамках этой аксиоматики являются простыми и самоочевидными, в том числе и деление, и корни. Если, разумеется, слегка подучить хоть что-нибудь.

Противоречия, которые при этом возникают, мы пытаемся разрешить выходя за пределы этой аксиоматики и вводя понятия, оперирующие с бесконечностями, как например предел.

Да черт побери, нет никаких противоречий! Ни с какой бесконечностью предел не оперирует — Вы хоть определение-то помните? Предел последовательности: для любого сколь угодно малого эпсилона найдется такое достаточно большое целое число N, что, начиная с этого N, все члены последовательности лежат в эпсилон-окрестности предела. Покажите мне тут бесконечность!

Другое дело, что *форма записи* вещественного числа в форме бесконечной десятичной дроби "подразумевает", что надо написать "бесконечное" число разрядов после запятой. Ну так как я уже и говорил, это дефект формы записи. И как Вам Кара уже сказал, нефиг путать теплое с мягким, то бишь обозначение с обозначаемым.

Все что я хотел сказать - в такой простой вещи как арифметика имеются очень простые и смешные дефекты. Шаг влево, шаг вправо - расстрел, то есть вы сталкиваетесь с бесконечностями, и все что с ними связано кажется counter-intuitive.

Полный бред! Покажите хоть *один* дефект в аксиоматике вещественных чисел.

Этот фокус с 0.(9) конечно больше предназначен для флеймов, но все таки он вскрывает проблему нечеткости некоторых определений в арифметике,

Нет, он вскрывает Ваше полное непонимание того материала, на который Вы пытаетесь ссылаться. А также недостатки в Вашем образовании.

и также ту проболему, что построить полностью непротивречивую систему с числами и простыми операциями над ними невозможно. Может быть это есть гёделевская неполнота.

Вот ведь бредятина!

Никто не может сказать, что понимает до конца что такое например 1/3. Эта дробь не имеет физического смысла (как я уже тут говорил),

Да ну? Яблоко на три части Вам в начальной школе не пилили? Ну, тады всё, приехали...

но мы говорим - окей, фиг с ним, с физическим смыслом, мы можем это записать, как-то свести концы с помощью пределов, и будем очень довольны собой.

Для определения рационального числа (каковым является число 1/3) никакие пределы не нужны. Рациональное число — это класс эквивалентности упорядоченных пар целых чисел.

Бесконечные дроби в этом плане висят в воздухе, и поэтому являются источником забавных противоречий, которые не разрешаются в пределах аксиоматики, в которой они возникли.

Просто Вы этой аксиоматики не понимаете. Уж смиритесь с собственной интеллектуальной недостаточностью, чем на аксиоматику нападать )

С этим вы можете согласиться?

Нет, конечно

Я Вас сейчас в science_freaks в жж процитирую, добьётесь ведь

AVK добавил 30.01.2008 в 13:06

Сообщение от KaraNagai

И? Да! Число. Одно и то же число. Вы путаете представление с представляемыми сущностями. Никто не гарантировал взаимно-однозначного соответствия между чилсами и их нотацией в десятичной системе.

Слушай, Кара, пожалуй, пора уж закругляться Потому что то, что мы тут имеем — это блестящая иллюстрация моего старого тезиса: "высшая математика в частности, и высшее образование вообще — это не для всех" Ну если нет абстрактного мышления, то его нет. Это не лечится.

Я уже второй день твержу, что люди путают объект и символ, который его обозначает (коих символов может быть сколько угодно, затем пример с тождеством 0.1(1)=1 и привёл), но, видимо, такие дефекты уже не исправляются. В университете мы таких студентов просто отчисляем...

Добавлю разве вот что: даже и систему обозначений в обсуждаемом случае можно сделать однозначной (что и делается обычно) в рамках той аксиоматики, которую я тщетно пытался объяснить. Попросту если число рациональное — обозначаем его рациональной дробью, если иррациональное — бесконечной десятичной, и всё.

[AlexL]

Сообщение от KaraNagai

Рациональное ясен пень ибо представимо в виде дроби 3 * 1 / 3.

нифига

3 * 1 / 3 = 3 / 3 = 100/100 и т.д = 1 - целому числу ! поскольку пределом класса рациональных последовательностей является обозначается целое число ! оно не может быть рациональным иначе получается рациональные мы определяем через целые т.е вида m/n где m и n целые, а целыми коим является 3 * 1 / 3 рациональными? тафтология

[KaraNagai]

вы это серьезно, AlexL? ))

целые числа - подмножество рациональных, которые в свою очередь - подмножество вещественных. то, что мы даем определение рациональным через целые, а вещественным через рациональные совсем не значит, что мы не может взять последовательнсоть рациональных и посчитать целое. в последнем случае мы никаких определений не даём.

KaraNagai добавил 30.01.2008 в 14:46
вообще я пожалуй самоустранюсь от дальнейшей дискуссии по сути вопроса и стану отвечать далее в стиле "что курим?" и "мой глюк лучше твоих двух" )

[Ludwig]

Предел последовательности: для любого сколь угодно малого эпсилона найдется такое достаточно большое целое число N, что, начиная с этого N, все члены последовательности лежат в эпсилон-окрестности предела. Покажите мне тут бесконечность!

Показываю:

Предел последовательности: для любого сколь угодно малого эпсилона найдется такое достаточно большое целое число N, что, начиная с этого N, все члены последовательности лежат в эпсилон-окрестности предела.

Если обладать абстракным мышлением, коим математики должны бы обладать по долгу службы, то можно смекнуть, что в таких вещах как "сколь угодно малое" и "сколь угодно большое" зарыта такая хитрая штука - бесконечность. Если этого мышления нет - то нет. Или может вам уже настолько приелось, что вы забыли что такое бесконечность?


KaraNagai:

Спасибо за вопрос по существу Аксиоматику берем ту, в рамках которой показано 0.(9)=1. Вообще говоря для арифметики достаточно определить что такое единица и что такое сложение, а все остальные операции (вычитание, умножение, деление) базируется на этих двух. Плюс вводим десятичное представление чисел. Это все что нужно, чтобы показать 0.(9)=1. Где здесь пределы?

Насчет деления яблока на три - и что у тебя получится? Три идентичных элемента? В жизни не поверю

[KaraNagai]

думаю яблоко надо высушить, истолочь и скурить. ибо оно есть суперпозиция волновых функций.

P.S. для арифметики даже только на натуральных числах не достаточно определить что такое единица и что такое сложение.

[Ludwig]

Сообщение от KaraNagai

P.S. для арифметики даже только на натуральных числах не достаточно определить что такое единица и что такое сложение.

Будь пожалуйста конкретней, а то ты как математик Почему не достаточно? Что еще нужно?